Bài 3 (trang 126 SGK Hình học 11): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy lớn. Gọi M là trung điểm của đoạn AB, E là giao điểm của hai cạnh của hình thang ABCD và G là trọng tâm của tam giác ECD.

(a) Chứng minh rằng bốn điểm S, E, M, G cùng thuộc một mặt phẳng (α) và mặt phẳng này cắt cả hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) theo cùng một giao tuyến d.

(b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

(c) Lấy một điểm K trên đoạn SE và gọi C^' = SC ∩KB, D^'=SD ∩KA. Chứng minh rằng hai giao điểm của AC^' và BD^' thuộc đường thẳng d nói trên.

Bài giải:

a) Gọi N là giao điểm của EM và CD

Vì M là trung điểm của AB nên N là trung điểm của CD (do ABCD là hình thang)

⇒ EN đi qua G

⇒ S, E, M, G ∈ (α) = (SEM)

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Ta có (α) ∩ (SAC) = SO

và (α) ∩ (SBD) = SO = d

b) Ta có: (SAD) ∩ (SBC) = SE

c) Gọi O' = AC' ∩ BD'

Ta có AC' ⊂ (SAC), BD' ⊂ (SBD)

⇒ O' ∈ SO = d = (SAC) ∩ (SBD)