Bài 4 (trang 160 SGK Đại số 10): Chứng minh rằng các bất đẳng thức :

Bài giải

a) Ta có: x⁵ – 1 = (x – 1)(x⁴ + x³ + x² + x + 1)

Lại có: x – 1 > 0 ⇒ x > 1 ⇒ x⁵ > x⁴ > x³ > x² > x > 1

⇒ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 < x⁴ + x³ + x² + x + 1 < x⁴ + x⁴ + x⁴ + x⁴ + x⁴

hay 5 < x⁴ + x³ + x² + x + 1 < 5x⁴

⇒ 5.(x – 1) < (x – 1)(x⁴ + x³ + x² + x + 1) < 5x⁴.(x – 1)

hay 5.(x – 1) < x⁵ – 1 < 5x⁴.(x – 1) (đpcm)

b) x⁵ + y⁵ – x⁴y – xy⁴ = (x⁵ - x⁴y) - (xy⁴ - y⁵)

= x⁴.(x – y) – y⁴.(x – y)

= (x⁴ – y⁴).(x – y)

= (x² + y²)(x² – y²)(x – y)

= (x² + y²).(x + y)(x – y)(x – y)

= (x² + y²)(x + y)(x – y)²

Mà x² + y² ≥ 0; x + y ≥ 0; (x – y)² ≥ 0

⇒ x⁵ + y⁵ – x⁴y – xy⁴ ≥ 0.

c) Ta có: 

Tương tự. 4b +1 >0 và 4c +1 > 0

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương  và 1 ta có:

Không có giá trị nào của a, b, c thỏa mãn hệ trên nên dấu “=” của BĐT không xảy ra.