Bài 5 (trang 156 SGK Đại số 11): Viết phương trình tiếp tuyến đường cong y=x³.

a. Tại điểm (-1; -1);

b. Tại điểm có hoành độ bằng 2;

c. Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.

Bài giải:

Với mọi x₀ ∈ R ta có:

a) Tiếp tuyến của y = x³ tại điểm (-1; -1) là:

y = f’(-1)(x + 1) + y(1)

    = 3.(-1)²(x + 1) – 1

    = 3.(x + 1) – 1

    = 3x + 2.

b) x₀ = 2

⇒ y₀ = f(2) = 2³ = 8;

⇒ f’(x₀) = f’(2) = 3.2² = 12.

Vậy phương trình tiếp tuyến của y = x³ tại điểm có hoành độ bằng 2 là :

y = 12(x – 2) + 8 = 12x – 16.

c) k = 3

⇔ f’(x₀) = 3

⇔ 3x₀² = 3

⇔ x₀² = 1

⇔ x₀ = ±1.

+ Với x₀ = 1 ⇒ y₀ = 1³ = 1

⇒ Phương trình tiếp tuyến : y = 3.(x – 1) + 1 = 3x – 2.

+ Với x₀ = -1 ⇒ y₀ = (-1)³ = -1

⇒ Phương trình tiếp tuyến : y = 3.(x + 1) – 1 = 3x + 2.

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x³ có hệ số góc bằng 3 là y = 3x – 2 và y = 3x + 2.