Bài 6 (trang 160 SGK Đại số 10):

a. Xét dấu của biểu thức f(x) = 2x(x+2)-(x+2)(x+1)

b. Lập bảng biến thiên và vẽ trong cùng một hệ tọa độ vuông góc đồ thị của các hàm số : y = 2x(x+2) ( C₁ ) và y = (x+2)(x+1)(C₂)

Tính tọa độ giao điểm A và B của (C₁) và (C₂).

c. Tính các hệ số a, b, c để hàm số y = ax² + bx + c có giá trị lớn nhất bằng 8 và độ thị của nó đi qua A và B.

Bài giải

a) f(x) = 2x.(x+2) - (x+2)(x+1) = 2x² + 4x - (x² + 3x + 2) = x² + x - 2

Tam thức x² + x – 2 có hai nghiệm x₁ = -2 và x₂ = 1, hệ số a = 1 > 0.

Vậy:

+ f(x) > 0 nếu x > x₂ = 1 hoặc x < x₁ = -2, hay x ∈ (-∞; -2) ∪ (1; + ∞)

+ f(x) < 0 nếu x₁ < x < x₂ hay x ∈ (-2; 1)

+ f(x) = 0 nếu x = -2 hoặc x = 1.

b)

* Hàm số y = 2x(x+2) = 2x² + 4x có đồ thị (C₁) là parabol có:

+ Tập xác định: D = R

+ Đỉnh I₁( -1; -2)

+ Trục đối xứng: x = -1

+ Giao điểm với trục tung tại gốc tọa độ.

+ Giao điểm với trục hoành tại O(0; 0) và M(-2; 0).

+ Bảng biến thiên:

* Hàm số y = (x + 2)(x+1) = x² + 3x + 2 có đồ thị (C₂) là parabol có:

+ Tập xác định D = R.

+ Đỉnh 

+ Trục đối xứng: x = -3/2

+ Giao với trục tung tại D(0; 2)

+ Giao với trục hoành tại M(-2; 0) và E(-1; 0)

+ Bảng biến thiên

* Đồ thị:

* Tìm tọa độ giao điểm:

Cách 1: Dựa vào đồ thị hàm số:

Nhìn vào đồ thị thấy (C₁) cắt (C₂) tại A(1; 6) và B ≡ M(-2; 0)

Cách 2: Tính:

Hoành độ giao điểm của (C₁) và (C₂) là nghiệm của phương trình:

2x(x + 2) = (x + 2)(x + 1)

⇔ (x + 2).2x – (x + 2)(x + 1) = 0

⇔ (x + 2).(2x – x – 1) = 0

⇔ (x + 2).(x – 1) = 0

⇔ x = -2 hoặc x = 1.

+ x = -2 ⇒ y = 0. Ta có giao điểm B(-2; 0)

+ x = 1 ⇒ y = 6. Ta có giao điểm A(1; 6).

c)

+ Đồ thị hàm số y = ax² + bx + c đi qua điểm A(1; 6) và B(-2; 0)

⇔ tọa độ A và B thỏa mãn phương trình y = ax² + bx + c

+ Ta có bảng biến thiên của hàm số y = ax² + bx + c:

Nhận thấy y đạt giá trị lớn nhất bằng 8

Thay b = 2 + a và c = 4 – 2a vào biểu thức 4ac – b² = 32a ta được:

4.a.(4 – 2a) – (2 + a)² = 32a

⇔ 16a – 8a² – (a² + 4a + 4) = 32a

⇔ 16a– 8a² – a² – 4a - 4 – 32a = 0

⇔ -9a² - 20a - 4 = 0

⇔ a = -2 hoặc a = -2/9.

Nếu a = -2 ⇒ b = 0, c = 8, hàm số y = -2x² + 8

Nếu a = -2/9 ⇒ b = 16/9, c = 40/9, hàm số