Bài 6 (trang 44 SGK Giải tích 12): Cho hàm số  y=  

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.

b) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A(-1, ).

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.

Bài giải:

a) Với mọi tham số m ta có :

Vậy hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b) Ta có:

⇒  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+ Tiệm cận đứng đi qua A(-1 ; √2)

⇔ 

⇔ m = 2.

Vậy với m = 2 thì tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A(-1, √2)

c) Với m = 2 ta được hàm số: y=  

- TXĐ: D = R \ {-1}

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: Theo kết quả câu a)

Hàm số đồng biến trên (-∞ ; -1) và (-1 ; +∞)

+ Cực trị : Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận:

⇒ đồ thị có tiệm cận đứng là x = -1.

Lại có

⇒ đồ thị có tiệm cận ngang là y = 1.

+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

+ Đồ thị cắt trục hoành tại (1/2 ; 0).

+ Đồ thị cắt trục tung tại (0 ; -1/2).

+ Đồ thị nhận I(-1 ; 1) là tâm đối xứng.