Bài 7 (trang 45-46 SGK Giải tích 12): a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

y = x³ + 3x² + 1

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình sau theo m:

x³ + 3x² + 1 = m2

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C).

Bài giải:

a) Khảo sát hàm số y = x³ + 3x² + 1

- TXĐ: D = R

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = 3x² + 6x = 3x(x + 2)

y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -2

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

Kết luận:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -2) và (0; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; 0).

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; y_CT = 1.

Hàm số đạt cực đại tại x = -2 ; y_CĐ = 5.

- Đồ thị:

+ Giao với Oy: (0; 1).

+ Đồ thị (C) đi qua điểm (–3; 1), (1; 5).

b) Số nghiệm của phương trình x³ + 3x² + 1 = m2bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = m2

Từ đồ thị ta có:

+ Đường thẳng cắt đồ thị tại 1 điểm khi và chỉ khi :

⇒ phương trình có 1 nghiệm.

+ Để đường thẳng cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi :

⇒ Phương trình có hai nghiệm.

+ Với  1< m2  <5⇔ 2 < m < 10.

⇒ Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm

⇒ Phương trình có ba nghiệm phân biệt.

c) Điểm cực đại A(-2; 5) và điểm cực tiểu B(0; 1).

⇒ vtcp của đường thẳng AB: 

⇒ vtpt của AB: n = (2; 1)

Đường thẳng AB : qua A( -2 ; 5) và có VTPT n = (2; 1) nên có phương trình:

2(x+2)+ 1( y – 5) = 0 hay 2x + y - 1 = 0