Bài 8 (trang 46 SGK Giải tích 12): Cho hàm số: f(x) = x³ - 3mx² + 3(2m - 1)x + 1 (m là tham số).

a) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.

b) Với giá trị nào của tham số m thì hàm số có một cực đại và một cực tiểu?

c) Xác định m để f"(x) > 6x.

Bài giải:

a) TXĐ: D = R

f'(x) = 3x² - 6mx + 3(2m - 1)

Hàm số đồng biến trên R

⇔ f’(x) > 0 với ∀ x ∈ R.

⇔ Δ_f'(x) = (3m)² - 3.3(2m-1) ≤ 0

⇔ 9m² – 18m + 9 ≤ 0

⇔ 9.(m – 1)² ≤ 0

⇔ (m – 1)² = 0

⇔ m = 1.

b) Hàm số có một cực đại và một cực tiểu

⇔ phương trình f’(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt.

⇔ Δ_f'(x) = 9(m - 1)² > 0

⇔ m ≠ 1

c) Ta có: f"(x) = 6x - 6m

f"(x) > 6x ⇔ 6x - 6m > 6x

⇔ - 6m > 0 ⇔ m < 0