Bài 8 (trang 63 SGK Đại số 10): Cho phương trình 3x² - 2(m + 1)x + 3m - 5 = 0

Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

Bài giải:

Ta có : 3x² – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0 (1)

(1) có hai nghiệm phân biệt khi Δ’ > 0

⇔ (m + 1)² – 3.(3m – 5) > 0

⇔ m² + 2m + 1 – 9m + 15 > 0

⇔ m² – 7m + 16 > 0

⇔ (m – 7/2)² + 15/4 > 0

Điều này luôn đúng với mọi m ∈ R hay phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt., gọi hai nghiệm đó là x₁; x₂

Khi đó theo định lý Vi–et ta có   (I)

Phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia, giả sử x₂ = 3.x₁, khi thay vào (I) suy ra :

* TH1 : m = 3, pt (1) trở thành 3x² – 8m + 4 = 0 có hai nghiệm x₁ = 2/3 và x₂ = 2 thỏa mãn điều kiện.

* TH2 : m = 7, pt (1) trở thành 3x² – 16m + 16 = 0 có hai nghiệm x₁ = 4/3 và x₂ = 4 thỏa mãn điều kiện.

Kết luận : m = 3 thì pt có hai nghiệm là 2/3 và 2.

m = 7 thì pt có hai nghiệm 4/3 và 4.

Kiến thức áp dụng

Để giải các bài toán tìm tham số để nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện nào đó cần :

+ Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm hoặc có hai nghiệm phân biệt.

+ Áp dụng định lý Vi–et để biểu diễn nghiệm theo tham số

+ Biến đổi các điều kiện về nghiệm theo đề bài để tìm ra tham số.

+ Thử lại và kết luận.