Bài 5 (trang 88 SGK Hình học 10): Cho hai đường tròn C₁(F₁,R₁) và C₂(F₂,R₂) . C₁ nằm trong C₂ và F₁ ≠F₂ . Đường tròn C thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với C₁ và tiếp xúc trong với C₂. Hãy chứng tỏ rằng tâm M của đường tròn C di động trên một elip.

Bài giải

Gọi C(M ; R).

C tiếp xúc ngoài với C1 ⇒ MF₁ = R + R₁

C tiếp xúc trong với C2 ⇒ MF₂ = R₂ – R

⇒ MF₁ + MF₂ = R + R₁ + R₂ – R = R₁ + R₂ = const.

Điểm M có tổng các khoảng cách MF1 + MF2 đến hai điểm cố định F1 và F2 bằng một độ dài không đổi R1 + R2.

Vậy M nằm trên elip có hai tiêu điểm F₁, F₂ và có độ dài trục lớn bằng R₁ + R₂.