Bài 12 (trang 107 SGK Đại Số 10): Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Sử dụng định lí về dấu tam thức bậc hai, chứng mình rằng:

      b²x² - (b² + c² - a²)x + c² > 0 ∀x

Bài giải

Xét tam thức f(x) = b²x² - (b² + c² - a²)x + c² có:

Δ = (b² + c² - a²)² - 4b²c²

    = (b² + c² - a² - 2bc)(b² + c² - a² + 2bc)

    = [(b - c)² - a²][(b + c)² - a²]

    = (b – c – a)(b – c + a)(b + c + a)(b + c – a).

Do a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác ta có:

    b < c + a ⇒ b – c – a < 0

    c < a + b ⇒ b – c + a > 0

    a < b + c ⇒ b + c – a > 0

    a, b, c > 0 ⇒ a + b + c > 0

⇒ Δ < 0 ⇒ f(x) cùng dấu với b² ∀x hay f(x) > 0 ∀x (đpcm).