Bài 16 (trang 108 SGK Đại Số 10): Bất phương trình mx² + (2m – 1)x + m + 1 < 0 có nghiệm khi

(A) m = 1 ;     (B) m = 3

(C) m = 0 ;     (D) m = 0,25

Bài giải

Chọn câu (C) m = 0

Giải thích:

Cách 1: Thử từng đáp án

Đặt f(x) = mx² + (2m – 1)x + m + 1

+ Nếu m = 1, f(x) = x² + x + 2

⇒ bất phương trình f(x) < 0 vô nghiệm.

+ Nếu m = 3; f(x) = 3x² + 5x + 4 > 0 với ∀ x ∈ R

Vì Δ = 5² - 4.3.4= -23 < 0 và hệ số a = 3 > 0 nên f(x) > 0 với mọi x.

⇒ bất phương trình f(x) < 0 vô nghiệm.

+ Nếu m = 0, f(x) = -x + 1.

BPT f(x) < 0 có nghiệm x > 1.

+ Nếu m = 0,25 thì f(x) = 0,25x² – 0,5x + 1,25 > 0 với ∀ x ∈ R

Vì ∆ = 0,5² – 4.0,25. 1,25 = -1 < 0, hệ số a= 0, 25 > 0 nên f(x) > 0 với mọi x.

⇒ bất phương trình f(x) < 0 vô nghiệm.

Vậy chọn m = 0

Cách 2: Tìm các giá trị của m để bpt mx² + (2m – 1)x + m + 1 < 0 có nghiệm.

Ngược lại ta đi tìm các giá trị của m để bpt trên vô nghiệm.

Khi đó với các giá trị m khác các giá trị vừa tìm được sẽ làm cho BPT có nghiệm.

Xét f(x) = mx² + (2m – 1)x + m + 1.

+ Nếu m = 0, BPT có nghiệm (như trên cách 1).

+ Nếu m ≠ 0 :

f(x) có Δ = (2m – 1)² – 4.m.(m+1) = 4m² – 4m + 1 – 4m² – 4m = 1 – 8m.

BPT f(x) < 0 vô nghiệm

⇔ f(x) ≥ 0 với ∀ x ∈ R

Vậy với mọi m ≥ 1/8 thì BPT f(x) < 0 vô nghiệm

Suy ra với mọi m < 1/8 thì BPT f(x) < 0 có nghiệm.

Trong các đáp án trên chỉ có m = 0 thỏa mãn.